EQUAZIONI DIFFERENZIALI A COEFFICIENTI COSTANTI
In generale, si può definire equazione differenziale lineare in una variabile x una equazione della forma
dove le funzioni 
sono funzioni note nella variabile x. Si dice che un'equazione di questo tipo ha grado
n, ossia grado pari all'ordine della più alta
derivata della funzione incognita y presente.
Nel caso in cui si abbia g(x) = 0 l'equazione è detta omogenea. Quando gli ai sono semplicemente dei numeri, l'equazione è detta a coefficienti costanti.
Polinomio
associato
Il polinomio associato a un'equazione differenziale è l'equazione che si ottiene sostituendo al posto della funzione y(x) un'incognita avente lo stesso coefficiente della funzione y e grado rispettivamente uguale all'ordine di derivazione della y.
Per esempio, data l'equazione differenziale y'' − 5y' + 6y = 0, si costruisce un'equazione nell'incognita ausiliaria λ secondo la regola indicata precedentemente e si ottiene λ2 − 5λ + 6 = 0.
Equazioni lineari del secondo
ordine a coefficienti costanti: Metodo risolutivo
1)
Si considera l’omogenea associata 
2)
Si considera il polinomio associato a questa 
3)
La soluzione generale dell’omogenea sarà 
se l’equazione è di
secondo grado e l1
e l2
sono soluzioni reali del polinomio associato.
4)
Se l1
e l2
sono reali e coincidenti la soluzione dell’omogenea 
5)
Se l1
e l2
sono immaginari tali che 
, 
allora la soluzione
dell’omogenea 
6) I coefficienti c1 e c2 possono essere determinati dalle condizioni iniziali.
7) Si cerca una soluzione particolare dell’equazione completa: y0(x)
8)
La soluzione sarà 
Esaminiamo i vari casi per la ricerca della soluzione particolare y0.
1) La funzione g(x) è un polinomio.
La soluzione particolare y0 è un polinomio che deve soddisfare l’uguaglianza
Se c ¹ 0, il grado di y0 deve essere uguale al grado di g(x) .
Esempio: 
L’omogenea associata è 
e il suo polinomio
associato ha soluzioni
z1= -1 e z2= 3
La soluzione generale dell’equazione omogenea è 
Poichè 
, la soluzione
particolare è un polinomio di grado 1, cioè 
Determiniamo i coefficienti a e b imponendo che y0 sia soluzione dell’equazione data
Þ 
uguagliando i
coefficienti della x e dei termini noti si ha
Þ 
La soluzione particolare è
L’integrale generale risulta
Se c =0 e b ¹ 0 il grado di y0 deve essere uguale al grado n di g(x), aumentato di 1, cioè n+1.
Esempio 
L’omogenea 
, il polinomio
associato ha soluzioni z1= -1 e z2=0
La soluzione generale dell’omogenea 
La soluzione particolare è un polinomio di grado
2 
Determiniamo a e b
Þ 
Uguagliando i
coefficienti dei polinomi:
La soluzione
particolare è determinata a meno di una costante c che possiamo porre =0
L’integrale generale risulta
Se c = 0 e b = 0 si risolve l’equazione differenziale semplicemente con due integrazioni successive
esempio 
che è la soluzione
2) La funzione g(x) è del tipo 
, dove a è un numero reale e s(x) un polinomio
· Se a non è soluzione del polinomio associato dell’equazione omogenea, allora la soluzione particolare ha la forma
· Se a è una delle due soluzioni distinte del polinomio associato dell’equazione omogenea, allora la soluzione particolare ha la forma
· Se le soluzioni del polinomio associato dell’equazione omogenea, sono coincidenti e sono uguali a a allora la soluzione particolare ha la forma
In ciascuno dei tre casi p(x) è un polinomio dello stesso grado di s(x); esso viene determinato imponendo che y0 sia soluzione dell’equazione.
Esempio 
Le soluzioni del polinomio dell’omogenea Z1,2= +2i
La soluzione generale dell’omogenea 
a non è soluzione del polinomio associato quindi, la soluzione particolare è del tipo
Ricavando i coefficienti a e b si ottiene dopo vari passaggi
3) La funzione g(x) è del tipo 
dove a, b, h,
e k sono numeri reali
· Se a+ib non è soluzione del polinomio associato dell’equazione omogenea, allora la soluzione particolare ha la forma
· Se a+ib è soluzione del polinomio associato dell’equazione omogenea, allora la soluzione particolare ha la forma
a e b sono costanti reali, vengono calcolate
imponendo che y0 sia soluzione dell’equazione.
Esempio 
z1,2=+i
a=0 b =1 a+ib=i è soluzione dell’equazione caratteristica perciò
Calcolando
e 
e sostituendoli
nell’equazione di partenza dopo vari calcoli si determina a e b
